Что значит обособившаяся часть? и в чем состоит это обособление?

Обособление - выделение некоторых членов предложения. запятыми или тире.

Такие члены предложения (определения, обстоятельства, дополнения) называются обособленными.

Но это не значит, что все обстоятельства, определения, дополнения должны выделяться запятыми. Только при при определенных условиях.

Обособление - это смысловое и интонационное выделение членов предложения с целью придать им известную смысловую и синтаксическую самостоятельность в предложении. В устной речи они выделяются интонацией, а на письме отделяются или выделяются знаками препинания. Разные члены предложения обособляются по разным причинам. В одном случае второстепенные члены предложения обособляются потому, что по своему значению в предложении приближаются к сказуемому. В других случаях они обособляются потому, что используются в предложении как нечто добавочное, введённое для уточнения какого-либо члена предложения.

Хм ... Ну вот я сейчас приведу пример.

Например: Дом, построенный дедушкой, мы продали.

"Построенный дедушкой" - это обособленное определение, выраженное причастным оборотом. Обособленное, потому что оно обособляется запятыми.