Планируется взять у банка кредит в июле в размере 18 млн. Условия таковы:

В январе на оставшуюся сумму начисляется процент, в виде 10%

В марте нужно сделать определенную выплату.

В следующий июль кредит должен быть (!) на одно и тоже количество меньше прошлого июля, и так каждый год. (При этом, выплаты не должны быть равными)

Сколько лет займет выплата кредита, если известно, что со всеми переплатами было выплачено 27 млн рублей?

Пусть количество лет, на которые взят кредит - х, сумма кредита - С, тогда ежегодный платёж по основному долгу С/х.

Год Долг Выплата Проценты

1 С С/х+С*0,1 0,1*С

2 С-С/х С/х + (С-С/х)) * 0,1 0,1 * (С-С/х) = 0,1*С * (1-1/х)

3 С-2*С/х С/х + (С-2*С/х) * 0,1 0,1 * (С-2*С/х) = 0,1*С * (1-2/х)

4 С-3*С/х С/х + (С-3*С/х) * 0,1 0,1 * (С-3*С/х) = 0,1*С * (1-3/х)

и так далее

х С-х*С/х С/х + (С - (х-1) * С/х) * 0,1 0,1 * (С - (х-1) * С/х) = 0,1*С * (1 - (х-1) / х)

Выплата по процентам за х лет составила 27-18=9 млн. рублей

Посчитаем выплаченные проценты за х лет.

0,1*С+0,1*С * (1-1/х) + 0,1*С (1-2/х) + 0,1*С * (1-3/х) + ... + 0,1*С * (1 - (х-1) / х) = 9 млн.

0,1*С * (1+1-1/х+1-2/х+1-3/х + ... + 1 - (х-1) / х) = 9

1+1-1/х+1-2/х+1-3/х + ... + 1 - (х-1) / х=9/0,1*18=5

Сложим единицы, их по одной на каждый год кредитования

х - (1/х+2/х+3/х + ... + (х-1) / х) = 5

1/х+2/х+3/х + ... + (х-1) / х - арифметическая прогрессия

S = (а1+аn) * n/2 = (1/х + (х-1) / х) * (х-1) / 2 = (х-1) / 2

х - (х-1) / 2=5 (*2)

2*х-х+1=10

х=9 лет срок кредитования