Решите тригонометрические уравнения:

1. 6sin²x-7sinx - 5=0

2. 3sin²x+10cosx-10=0

3.2sin²x+11sin x cos x + 14cos²x = 0

Эти уравнения решаются с заменой.

1. 6sin²x-7sinx - 5=0

Заменим sinx = t.

Получаем квадратное уравнение:

6t² - 7t - 5 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:

Ищем дискриминант:D = (-7) ^2-4*6 * (-5) = 49-4*6 * (-5) = 49-24 * (-5) = 49 - (-24*5) = 49 - (-120) = 49+120=169;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:t_1 = (√169 - (-7)) / (2*6) = (13 - (-7)) / (2*6) = (13+7) / (2*6) = 20 / (2*6) = 20/12 = 5/3 ≈ 1,6667; этот корень отбрасываем (синус не может быть больше 1). t_2 = (-√169 - (-7)) / (2*6) = (-13 - (-7)) / (2*6) = (-13+7) / (2*6) = - 6 / (2*6) = - 6/12=-0,5. Производим обратную замену:

sin (x) = - 0,5.

x = (-π/3) + 2πk, k ∈ Z.

x = (-5π/6) + 2πk, k ∈ Z.

2. 3sin²x+10cosx-10=0.

sin²x = 1 - cos²x.

Подставим в исходное уравнение:

3 (1 - cos²x) + 10 cosx - 10 = 0.

-3cos²x + 10cosx - 7 = 0.

Замена: cosx = t и перемена знаков.

3t² - 10t + 7 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:

Ищем дискриминант:D = (-10) ^2-4*3*7=100-4*3*7=100-12*7=100-84=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:t_1 = (√16 - (-10)) / (2*3) = (4 - (-10)) / (2*3) = (4+10) / (2*3) = 14 / (2*3) = 14/6=7/3 ≈ 2.3333; отбрасываемt_2 = (-√16 - (-10)) / (2*3) = (-4 - (-10)) / (2*3) = (-4+10) / (2*3) = 6 / (2*3) = 6/6=1. Производим обратную замену:

cos (x) = 1.

x = 2πk, k ∈ Z.

3.2sin²x+11sin x cos x + 14cos²x = 0.

Разложим на множители:

(2cosx + sinx) * (7cosx + 2sinx) = 0.

Приравниваем каждый из множителей нулю:

2cosx + sinx = 0.

Поделим обе части уравнения на cosx:

2 + tgx = 0.

tgx = - 2.

x = Arc tg (-2) = arc tg (-2) + πk, k ∈ Z.

7cosx + 2sinx = 0.

7 + 2tgx = 0.

tgx = - 7/2.

x = Arc tg (-7/2) = arc tg (-7/2) + πk, k ∈ Z.

Ответ:

x = arc tg (-2) + πk, k ∈ Z.

x = arc tg (-7/2) + πk, k ∈ Z.

Можно дать цифровые значения аrc tg (-2) и arc tg (-7/2) :

аrc tg (-2) = - 1,10715,

arc tg (-7/2) = - 1,2925 (это в радианах).

Можно избавиться от отрицательных углов по формуле

tg (-x) = - tg (x) :

Тогда ответ будет:

x = πk - arc tg (2), k ∈ Z.

x = πk - arc tg (7/2), k ∈ Z.