Петя записал на доске числа 420310 и 457003. Коля задумал трёхзначное число и разделил оба Петиных числа с остатком на задуманное число. В результате деления оказалось, что в обоих случаях в остатке получилось одно и то же двухзначное число. Найдите это двузначное число.

Эти числа при делении на какое-то число х дают одинаковые остатки.

457003 = x*n + k

420310 = x*m + k

Вычитаем из 1 равенства 2 равенство

36693 = x * (n - m)

Разложим левое число на скобки

36693 = 3^5*151 = 243*151

Значит, Коля задумал x = 243 или x = 151.

457003 = 151*3026 + 77

420310 = 151*2783 + 77

457003 = 243*1880 + 163

420310 = 243*1729 + 163

Остаток двузначный только если делили на 151.

Ответ: остаток 77