1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое ''уплотнение'' повторили ещё один раз (всего 2 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 117 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Решение. Если (до уплотнения) было отмечено n точек, то после уплотнения будет отмечено 2n-1 точек (из которых n старых и n-1 - новая). Следовательно, число точек до уплотнения можно найти, прибавив к числу точек после уплотнения единицу и поделив пополам. Таким образом, до последнего уплотнения было (117+1) / 2=59 точек, и в самом начале - (59+1) / 2=30 точек.

Ответ: изначально было отмечено 30 точек.