Найдите наименьшее число, кроме числа 1, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 даёт в остатке 1?

Найдём наименьшее натуральное число, которое делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Очевидно, оно равно наименьшему общему кратному этих чисел, которое в свою очередь равно 5*8*9=360 (2 и 4 делятся на 8, 3 делится на 9, 6 делится на 8*9). Любое натуральное число, меньшее 360, не делится либо на 5, либо на 8, либо на 9.

Теперь рассмотрим число 361. При делении на любое число из условия оно даёт в остатке 1. Поскольку 360 - наименьшее число, которое даёт в остатке 0 при делении на все числа из условия, то 361 - наименьшее число, которое даёт в остатке 1 при делении на любое из этих чисел, что и требовалось.