Исследовать функцию и построить её график: 1) у=х^4-2*x^2-3 2) y=-x*e^x

a) y=x^4-2x^2-3

1) Функция определена на всей числовой прямой

2) Функция четная, так как f (x) = f (-x)

3) Функция не периодична

4) Находим f ' (x)

f ' (x) = 4x^3-4x=0

x^3-x=0

x (x^2-1) = 0

Критические точки: x=-1; x=0; x=1

5) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: ]-бескон.; -1[, ]-1; 0[, ]0; 1[, ]1; +бескон.[

Откуда, имеем что функция убывает на ]-бескон.; -1[ и ]0; 1, Функция возростает на ]-1; 0[ и ]1; +бескон.[

6) Находим вторую производную

f '' (x) = 12x^2-4

7) Определяем знак второй производной в критической точке

f'' (-1) >0

f '' (1) >0

то есть точки x=-1 и x=1 - точки минимума

8) f'' (x) = 0

12x^2-4=0

3x^2-1=0

x=±1/sqrt (3) - точки перегиба

б) y=xe^x

1) Функция определена на всей числовой прямой

2) Функция не четная

3) Функция не периодична

4) Находим f ' (x)

f' (x) = e^x+x*e^x

f' (x) = 0

e^x+x^e^x=0

e^x (1+x) = 0

Критическая точка: x=-1

5) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: ]-бескон.; -1[, ]-1; + бескон.[

Откуда, имеем что функция убывает на ]-бескон.; -1[

Функция возростает ]-1; +бескон.[

6) Находим вторую производную

f'' (x) = e^x+e^x+xe^x=2e^x+xe^x=e^x (2+x)

7) Определяем знак второй производной в критической точке

f'' (-1) >0

то есть точки x=-1 - точка минимума

8) f'' (x) = 0

e^x (2+x) = 0 = >x=-2 - точка перегиба