С. Р. О. Ч. Н. О.

Дан базис линейного пространства a1 = (1,1,0), а2 = (1,-1,1), а3 = (-3,5,-6). Выразить в этом базисе вектор b = (3,-8,21)

Чтобы показать, что векторы образуют базис, надо посчитать определитель D (A) матрицы А, составленной из векторов а1, а2 и а3:

(2 3 1)

(1 - 1 - 1)

(3 1 - 2)

Это будет 4 + 1 - 9 + 3 + 2 + 6 = 7

Определитель не равен нулю, значит, векторы а1, а2 и а3 линейно независимы и образуют базис.

Чтобы найти координаты вектора b в этом базисе, надо решить систему линейных уравнений Ах = b

D (A) = 7

D1:

(7 3 1)

(0 - 1 - 1)

(7 1 - 2)

D1 = 14 - 21 + 7 + 7 = 7

D2:

(2 7 1)

(1 0 - 1)

(3 7 - 2)

D2 = - 21 + 7 + 14 + 14 = 14

D3:

(2 3 7)

(1 1 0)

(3 1 7)

D3 = 14 + 7 - 21 - 21 = - 21

Тогда b1 = D1/D = 7/7 = 1

b2 = D2/D = 14/7 = 2

b3 = D3/D = - 21/7 = - 3

Окончательно b = (1, 2, - 3)