Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 3 см. и 4 см. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СД = 1 см. Найти расстояние от точки Д до гипотенузы АВ.

Гипотенуза исходного треугольника 5 см (по Пифагору). Расстояние от точки Д до гипотенузы в принципе может быть разным, но кратчайшее расстояние - перпендикуляр (обозначим его ДО, точка О лежит на гипотенузе). СО - это проекция СД на плоскость тр-ка АВС и также является перпендикуляром к АВ, т. е. высотой тр-ка АВС, проведённой из прямого угла. Для неё справедливо соотношение СО = (СА*СВ) / АВ (теорема высоты прямоуголного треугольника). СО = (3*4) / 5=12/5. Тр-к СОД прямоугольный с катетами 1 и 12/5 см. И опять Пифагор (1*1) + (12/5*12/5) = 1+144/25=25/25+144/25=169/25, Корень из 169/25=13/5 - это и есть искомое расстояние.