Решить уравнение при всех значениях параметра a:

x|x+1| + a = 0

1) x ≥ - 1

x (x+1) + a = 0

x² + x + a = 0

D = 1 - 4a

чтобы имело решение 1 - 4 а ≥ 0; a ≤ 0,25

x₁ = (-1 + √ (1-4a)) / 2

x₂ = (-1 - √ (1-4a)) / 2

x должны быть больше либо равны - 1:

(-1 + √ (1-4a)) / 2 ≥ - 1

-1 + √ (1-4a) ≥ - 2

√ (1-4a) ≥ - 1 - верно для всех а

(-1 - √ (1-4 а)) / 2 ≥ - 1

-1 - √ (1-4 а) ≥ - 2

√ (1-4 а) ≤ 1

1 - 4 а ≤ 1

а ≥ 0

т. е. в данном случае ответы:

x₁ = (-1 + √ (1-4a)) / 2

x₂ = (-1 - √ (1-4a)) / 2, если а∈[0; 0,25) (при а = 0,25 корни равны и равны - 0,5)

x = (-1 + √ (1-4a)) / 2, если а<0

2) x < - 1

x (-x-1) + a = 0

-x² - x + a = 0

x² + x - a = 0

D = 1 + 4a ≥ 0 a ≥ - 0,25

x₁ = (-1 + √ (1+4a)) / 2 < - 1

x₂ = (-1 - √ (1+4a)) / 2 < - 1

√ (1 + 4a) < - 1 - не верно ни для каких а

-√ (1+4 а) < - 1

√ (1+4a) > 1

1 + 4a > 1

4a > 0

a > 0

Ответ в этом случае:

x = (-1 - √ (1+4a)) / 2, если а > 0

Объединяя ответы, получаем:

1) x = (-1 + √ (1-4a)) / 2, если а<0

2) x₁ = (-1 + √ (1-4a)) / 2

x₂ = (-1 - √ (1-4a)) / 2

x₃ = (-1 - √ (1+4a)) / 2, если а∈[0; 0,25)

3) x₁ = - 0,5

x₂ = (-1-√2) / 2, если а = 0,25

4) x = (-1 - √ (1+4a)) / 2, если а > 0,25