Даны уравнения основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2 у+4=0, т А (-2; 3) лежит на второй его стороне. Найти ее уравнение

Дано: уравнение основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2 у+4=0, точка А (-2; 3) лежит на второй его стороне. Найти её уравнение.

Находим координаты точки В на основании треугольника, приравнивая уравнения основания и боковой стороны.

х + у - 1 = х - 2 у + 4,

3 у = 5, у = 5/3.

х = 1 - у = 1 - (5/3) = - 2/3.

Точка В ((-2/3) ; (5/3)).

Находим координаты точки Н как середины отрезка АВ.

Н ((-2 + (-2/3)) / 2 = - 8/6 = - 4/3; (3 + (5/3) / 2 = 14/6 = 7/3) = ((-4/3) ; (7/3)).

Угловой коэффициент прямой СН как высоты равнобедренного треугольника равен: к (СН) = - 1/к (АВ).

Выразим уравнение АВ относительно у: у = - х + 1. к (АВ) = - 1.

Тогда к (СН) = - 1/-1 = 1.

Уравнение СН имеет вид у = х + в.

Для определения величины "в" подставим координаты точки Н:

7/3 = 1 * (-4/3) + в, в = (7/3) + (4/3) = 11/3.

Получаем уравнение СН: у = х + (11/3) или в общем виде 3 х - 3 у + 11 = 0.

Теперь можно получить координаты точки С как точку пересечения прямых ВС и СН, выраженных относительно у.

ВС: у = (1/2) х + 2, СН: у = х + (11/3).

(1/2) х + 2 = х + (11/3),

х - (1/2) х = 2 - (11/3),

(1/2) х = - 5/3,

х = (-5/3) / (1/2) = - 10/3, у = х + (11/3) = (-10/3) + (11/3) = 1/3.

Точка С ((1/3) ; (-5/3)).

По координатам двух точек А и С определяем уравнение этой прямой.

АС: (х + 2) / ((-10/3) + 2) = у - 3) / ((1/3) - 3)

АС: (х + 2) / (-4/3) = (у - 3) / (-8/3), после сокращения на (-4/3) получаем каноническое уравнение:

АС: (х + 2) / 1 = (у - 3) / 2.

В общем виде 2 х + 4 = у - 3 или 2 х - у + 7 = 0.