Найдите наименьшее значение функции

у = 1 / (-х²+ах-3), если график этой функции проходит через точку М (4; - 1/11)

Я приведу подробное решение. Для начала нужно найти значение переменной 'а', ведь не зря нам сообщили, что график функции проходит через точку М (4; - 1/11), где 4 это x координата, а - 1/11 это y координата точки М. То, что график проходит через точку М, значит, что если подставить в функцию вместо x 4, то y будет равен - 1/11. Подставляем 4 вместо x, а - 1/11 вместо y в функцию и выразим оттуда 'a'.

-1/11 = 1 / (-4+а*4-3) далее по свойству пропорции (произведение крайних членов равны произведению средних)

-1 * (-4+а*4-3) = 11*1

- (4 а-19) = 11 теперь раскроем скобку в левой части выражения, изменив все знаки в скобке на противоположные

-4 а+19 = 11 переносим 19 в правую часть с противоположным знаком

-4 а = 11-19

-4 а = - 8

а = - 8/-4 минус на минус даёт плюс

а = 2

Теперь у нас есть а. Т. к. нам нужно найти наименьшее значение функции, а функция представлена в виде дроби, то вспомним, что уменьшить дробь можно либо уменьшив числитель, либо увеличив знаменатель, но т. к. числитель зафиксирован, то нам нужно понять, когда знаменатель достигает наибольшего значения.

Знаменатель в нашем случае - это парабола ветви которй направлены вниз, т. к. коэффициент при x² отрицательный (-1), поэтому наибольшая точка у этой параболы - это её вершина (т. к. ветви уходят бесконечно вниз).

Найдём координаты вершины параболы знаменателя - x²+2x-3, сначала найдём x по формуле

x = - b/2a, где b=2, а=-1;

x = - 2 / (2*-1)

x = - 2/-2

х = 1

Теперь подставив 1 в - х²+2x-3, найдём у координату вершины, тоесть наибольшее значение функции (наибольшее значения нашего знаменателя)

y = - 1² + 2*1 - 3

y = - 1 + 2 - 3

y = - 2

Теперь мы знаем, что максимальное значение знаменателя это - 2, поэтому несложно вычислить минимальное значение всей дроби, подставив - 2 в качестве знаменателя, отсюда 1/-2 = - 1/2, это и есть наименьшее значение функции.