Можно ли квадрат натурального числа записать с помощью 3 единиц, 4 пятерок и любого количества нулей?

Используем свойство: a≡S (a) (mod 9), где а - число, S (a) - сумма цифр числа. При этом, естественно, верно и S (a) ≡S (S (a)) (mod 9) и т. д. По сути, конечная сумма числа (сумма его цифр, приведенная к одной цифре. Пример: 169; 1+6+9=16; 1+6=7; 7 - и есть конечная сумма) равна его остатку от деления на 9 (если число не кратно 9) или 9 (если число кратно 9).

Рассмотрим возможные остатки от деления чисел вида x² на 9.

1) x≡1 (mod 9) → x²≡1*1 (mod 9) ≡1 (mod 9)

2) x≡2 (mod 9) → x²≡2*2 (mod 9) ≡4 (mod 9)

3) x≡3 (mod 9) → x²≡3*3 (mod 9) ≡0 (mod 9)

4) x≡4 (mod 9) → x²≡4*4 (mod 9) ≡16 (mod 9) ≡7 (mod 9)

5) x≡5 (mod 9) → x²≡5*5 (mod 9) ≡25 (mod 9) ≡7 (mod 9)

6) x≡6 (mod 9) → x²≡6*6 (mod 9) ≡36 (mod 9) ≡0 (mod 9)

7) x≡7 (mod 9) → x²≡7*7 (mod 9) ≡49 (mod 9) ≡4 (mod 9)

8) x≡8 (mod 9) → x²≡8*8 (mod 9) ≡64 (mod 9) ≡1 (mod 9)

9) x≡0 (mod 9) → x²≡0 (mod 9)

Как видим, могут быть следующие остатки при делении на 9 квадратов натуральных чисел: 0; 1; 4 и 7. То есть конечная сумма любого квадрата равна одному из этих чисел (но в случае, если остаток равен 0, конечная сумма равна 9)

Теперь найдем конечную сумму нашего числа. 3*1+4*5+n*0=3+20=23; 2+3=5. То есть конечная сумма равна 5, чего не может быть, если искомое число квадрат. Противоречие. Значит числа, удовлетворяющего условиям задания, не существует.