У бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма квадратов первых n членов равно сумме её первых 2n членов, а сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Из условия

S=b1^2+b2^2+b3^2 + ... + b (n) ^2=S (2n)

Или

b1^2 (1+q^2+q^4 + ... + q^ (2n-2)) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

Откуда

b1^2 * (q^ (2n) - 1) / (q^2-1) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

По второму условию

3 (b1^3+b2^3+b3^3 + ... + b (n) ^3) = b1+b2+b3 + ... + b (3n)

Или

3b1^3 (1+q^3+q^6 + ... + q^ (3n-3)) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

Откуда

3b1^3 * (q^ (3n) - 1) / (q^3-1) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

Система

{b1^2 * (q^ (2n) - 1) / (q^2-1) = b1 * (q^ (2n) - 1) / (q-1)

{3b1^3 * (q^ (3n) - 1) / (q^3-1) = b1 (q^ (3n) - 1) / (q-1)

Так как |q|<1

{b1^2=b1 (q+1)

{3b1^3=b1 (q^2+q+1)

{b1 (b1-q-1) = 0

{b1 (3b1^2-q^2-q-1) = 0

{b1=q+1

{3b1^2=q^2+q+1

3 (q^2+2q+1) = q^2+q+1

2q^2+5q+2=0

q = (-5+3) / 4 = - 1/2 >-1

b1=-1/2+1 = 1/2

Сумма

S = (1/2) / (1 + (1/2)) = 1/3