Найти частное решение дифференциального уравнения у"+7 у'+6 у=0 у (0) = 1; у' (0) = 2

Пишем характеристическое уравнение: k²+7*k+6=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=-6, k2=-1. В таком случае общее решение уравнения имеет вид Yо=C1*e^ (k1*x) + C2*e^ (k2*x). В нашем случае Yo=C1*e^ (-6*x) + C2*e^ (-x). Дифференцируя это равенство, получаем Y'o=-6*C1*e^ (-6*x) - C2*e^ (-x). Подставляя начальные условия, приходим к системе уравнений:

C1+C2=1

-6*C1-C2=2

Решая эту систему, находим C1=-3/5, C2=8/5. Тогда искомое частное решение таково: Yч=-3/5*e^ (-6*x) + 8/5*e^ (-x).

Проверка: Yч'=18/5*e^ (-6*x) - 8/5*e^ (-x), Yч''=-108/5*e^ (-6*x) + 8/5*e^ (-x). Подставляя Yч, Yч' и Yч'' в уравнение, получаем:

-108/5*e^ (-6*x) + 8/5*e^ (-x) + 126/5*e^ (-6*x) - 56/5*e^ (-x) - 18/5*e^ (-6*x) + 48/5*e^ (-x) = 0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. Теперь находим Yч (0) = - 3/5+8/5=1 и Yч' (0) = 18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. Значит, оно найдено верно.

Ответ: Yч=-3/5*e^ (-6*x) + 8/5*e^ (-x).