Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В;

г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD

А (1; -2) B (4; 2) C (5; 0)

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (1; -2) B (4; 2) C (5; 0).

а) длина стороны АВ = √ ((4-1) ² + (2 - (-2)) ²) = √ (9 + 16) = √25 = 5.

б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.

АВ: (х - 1) / 3 = (у + 2) / 4 это каноническое уравнение,

4 х - 4 = 3 у + 6

4 х - 3 у - 10 = 0 уравнение общего вида,

у = (4/3) х - (10/3) уравнение с угловым коэффициентом, к = 4/3.

ВС: (х - 4) / 1 = (у - 2) / (-2),

-2 х + 8 = у - 2,

2 х + у - 10 = 0,

у = - 2 х + 10, к = - 2.

в) внутренний угол В. Его можно найти двумя способами.

1. Находим длины сторон, используя их канонические уравнения, где в знаменателях координаты векторов.

АВ = √ (3² + 4²) = 5.

ВС = √ (1² + (-2) ²) = √5.

АС = √ (16 + 4) = √20 = 2√5.

cos B = (25 + 5 - 20) / (5*2√5) = 10/10√5 = √5/5.

B = 1,107148718 радиан = 63,43494882 градусов.

2. По углу между векторами с учётом, что ВА = - АВ.

cos B = (ax*bx + ay*by) / (|a|*|b|) = (3 * (-1) + 4*2) / (5*√5) = 5 / (5√5) = √5/5.

г) уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е как середины ВС.

Е (4,5; 1).

АЕ = (х - 1) / (3,5) = (у + 2) / 3 или с целыми коэффициентами

(2 х - 2) / 7 = (у + 2) / 3,

6 х - 6 = 7 у + 14

6 х - 7 у - 20 = 0,

у = (6/7) х - (20/7).

д) уравнение и длину высоты СD;

к (СД) = - 1/к (АВ) = - 1 / (4/3) = - 3/4.

у (СД) = (-3/4) х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.

5 = (-3/4) * 0 + в,

в = 5, отсюда уравнение СД = (-3/4) х + 5.

е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD.

Е (4,5; 1), А (1; -2) B (4; 2). Прямую обозначим ЕК. Это средняя линия треугольника. к (ЕК) = к (АВ).

ЕК = (4/3) х + в. Подставим координаты точки Е.

1 = (4/3) * 4,5 + в, в = 1 - 6 = - 5. ЕК = (4/3) х - 5.

Для определения координат точки М (пересечения ЕК и высоты CD), приравняем их уравнения.

(4/3) х - 5 = (-3/4) х + 5,

(16 х + 9 х) / 12 = 10,

хМ = 120/25 = 24/5 = 4,8.

уМ = (4/3) * (24/5) - 5 = 32/5 = 6,4.