На день рождения Фоксфорда к мистеру Фоксу и мистеру Форду пришло много гостей. Оказалось, что Фокс знает 65% гостей, а мистер Форд - 45%. Каждый гость знаком хотя бы с одним из хозяев, а менее 7 человек знаком им обоим. Какое наименьшее число гостей могло было быть на празднике?

Пусть всего было x гостей.

Тогда Фокс знает 0,65x человек из них,

а Форд знает 0,45x человек из них.

В сумме это даёт 0,65x + 0,45x = 1,1x

Учитывая, что каждый гость знает хотя бы одного хозяина, то эти лишние 0,1x - это пересечение двух множеств гостей, знающих по одному из хозяев, то есть это те самые гости (не менее 9 человек), которые знают обоих хозяев.

Получаем такое неравенство: 0,1x ≥ 9

Отсюда получим x ≥ 90

Число гостей больше или равно 90 человек.

То есть минимальное число гостей равно 90 человек. Однако, такое число физически не подходит по смыслу задачи, так как получим дробное число человек, знающих хозяев:

0,65*90 = 58,5

0,45*90 = 40,5

Собственно, если мы представим эти проценты как обыкновенные дроби, то получим вот что:

То есть, число гостей должно быть кратно 20, что бы при умножении на эти дроби у нас получилось целое число человек.

Минимальное кратное 20 число, не меньшее 90 - это 100.

При этом, Фокс знает 65 человек из них,

а Форд знает 45 человек из них,

и из этих гостей 10 человек знакомы им обоим.

Ответ: наименьшее число гостей - 100 человек.