Найдите косинус угла между векторами АВ и ВС, если А (1; -1; 3), В (3; -1; 1), и С (-1; 1; 3)

Вычислим координаты векторов:

AB = { 3 - 1; - 1 - (-1) ; 1 - 3 } = { 2; 0; - 2 },

BC = { - 1 - 3; 1 - (-1) ; 3 - 1 } = { - 4; 2; 2 }.

Найдем скалярное произведение векторов:

AB · BC = ABx · BCx + ABy · BCy + ABz · BCz = 2 · (-4) + 0 · 2 + (-2) · 2 = (-8) + 0 + (-4) = - 12.

Вычислим длины обоих векторов:

|AB| = √ (AB²x + AB²y + AB²z) = √ (2² + 0² + (-2) ²) = √ (4 + 0 + 4) = √8 = 2,8284,

|BC| = √ (BC²x + BC²y + BC²z) = √ ((-4) ² + 2² + 2²) = √ (16 + 4 + 4) = √24 = 4,899.

Подставим длины векторов и их скалярное произведение в формулу:

cos (α) = (AB · BC) / (|AB| · |BC|) = - 12 / (√8 · √24) = - 0,866.

Ответ:

cos (α) = - 0,866.

α ≈ 2,618 рад. = 150°.