Найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции y=3x-4x^3

Дана функция y=3x-4x³.

Находим y' = 3 - 12x² и приравниваем нулю:

3 - 12 х² = 0,

х² = 3/12 = 1/4.

Отсюда х = 1/2 и х = - 1/2.

Это критические точки, в которых возможен экстремум.

Получили 3 промежутка монотонности функции:

(-∞; (-1/2)), ((-1/2) ; (1/2)) и ((1/2) ; ∞).

Находим знаки производной на этих промежутках.

x = - 1 - 0,5 0 0,5 1

y' = - 9 0 3 0 - 9.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Возрастает на промежутке (-0,5; 0,5),

убывает на промежутках (-∞; (-0,5) и ((0,5) ; + ∞).

Минимум при х = - 0,5,

максимум при х = 0,5. Это точки экстремума.