Доказать методом математической индукции следующее равенство:

1^3+2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n) ^2

Пусть 1^3+2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n) ^2=А (очевидно, что А>0)

1) n=1

имеем 1^3 = 1^2. Верно.

2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1.

Тогда исходное равенство примет вид

(1^3+2^3 + ... + n^3) + (n+1) ^3 = ((1 + 2 + ... + n) + (n+1)) ^2

A + (n+1) ^3 = (√А + (n+1)) ^2

A + (n+1) ^3=А+2√А * (n+1) + (n+1)) ^2

(n+1) ^3=2√А * (n+1) + (n+1) ^2

Так как n натуральное, то (n+1) >0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1)

(n+1) ^2=2√А * + (n+1)

n^2+2n+1=2 (1 + 2 + ... + n) + n+1

n^2+n=2 (1 + 2 + ... + n)

Заметим, что 1 + 2 + ... + n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n.

Тогда

n^2+n=2 ((1+n) / 2) * n

n^2+n=n^2+n

Верно.

Значит равенство верно при любых натуральных n