В прямоугольном треугольнике Δ ABC ∠ A=30° BM-медиана

проведенная к гипотенузе. Докажите что один из Δ

ABM и MBC равносторонний а другой равнобедренный.

По свойству острых углов прямоугольного треугольника ∠С = 90° - 30° = 60°.

Как известно, в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы. Значит, ВМ = АМ = СМ.

Т. к. АМ = ВМ, то ΔАМВ - равнобедренный с основанием АВ. В этом треугольнике углы при основании равны по 30° (∠МАВ=∠МВА=30°).

Т. к. СМ = ВМ, то ΔСМВ - равнобедренный с основанием СВ. В этом треугольнике углы при основании равны по 60° (∠МСВ=∠МВС=60°).

Тогда в этом треугольнике третий угол также равен 60°.

Итак в ΔВМС три угла равны по 60°. Значит, этот треугольник - равносторонний (в треугольнике против равных углов лежат равные стороны).

Доказано.