Чьи имена людей связаны со словом пропорция. Кто первый употребил это слово.

Обращение пропорции. Если {/displaystyle / {/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/frac ab}={/frac cd}, то {/displaystyle / {/frac {b}{a}}={/frac {d}{c}}} / {/frac ba}={/frac dc}

Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если {/displaystyle / {/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/frac ab}={/frac cd}, то {/displaystyle / ad=bc} / ad=bc

Перестановка средних и крайних членов. Если {/displaystyle / {/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/frac ab}={/frac cd}, то

{/displaystyle / {/frac {a}{c}}={/frac {b}{d}}} / {/frac ac}={/frac bd} (перестановка средних членов пропорции),

{/displaystyle / {/frac {d}{b}}={/frac {c}{a}}} / {/frac db}={/frac ca} (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если {/displaystyle / {/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/frac ab}={/frac cd}, то

{/displaystyle / {/dfrac {a+b}{b}}={/dfrac {c+d}{d}}} / {/dfrac {a+b}{b}}={/dfrac {c+d}{d}} (увеличение пропорции),

{/displaystyle / {/dfrac {a-b}{b}}={/dfrac {c-d}{d}}} / {/dfrac {a-b}{b}}={/dfrac {c-d}{d}} (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если {/displaystyle / {/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/frac ab}={/frac cd}, то

{/displaystyle / {/dfrac {a+c}{b+d}}={/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/dfrac {a+c}{b+d}}={/frac ab}={/frac cd} (составление пропорции сложением),

{/displaystyle / {/dfrac {a-c}{b-d}}={/frac {a}{b}}={/frac {c}{d}}} / {/dfrac {a-c}{b-d}}={/frac ab}={/frac cd} (составление пропорции вычитанием).

История

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций {/displaystyle a:b=c:d} {/displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

{/displaystyle m/cdot a>n/cdot b} {/displaystyle m/cdot a>n/cdot b} и {/displaystyle m/cdot c>n/cdot d} {/displaystyle m/cdot c>n/cdot d},

{/displaystyle m/cdot a=n/cdot b} {/displaystyle m/cdot a=n/cdot b} и {/displaystyle m/cdot c=n/cdot d} {/displaystyle m/cdot c=n/cdot d},

{/displaystyle m/cdot a
для любой пары натуральных чисел {/displaystyle m} m и {/displaystyle n} n. Это определение даётся в "Началах" Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

См. также: Среднее арифметическое

Равенство двух разностей {/displaystyle a-b=c-d} a-b=c-d иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция

Основная статья: Золотое сечение

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: {/displaystyle a:b=b: (a-b) } a:b=b: (a-b). В этом случае, разложение {/displaystyle a} a на сумму двух слагаемых {/displaystyle b} b и {/displaystyle a-b} a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

Задачи на тройное правило

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].