Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 4 раза больше, либо в 4 раза меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1539. Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Все числа последовательности - натуральные, все числа, начиная со второго в 4 раза больше или меньше предыдущего.

Так как нам нужно найти максимально число членов, то будет логично в качестве первого члена использовать либо 1, либо 4. При деление 4 на 4 оно даст 1, а при умножении 1 на 4 оно даст 4. Чередуя в последовательности 1 и 4 мы получим максимально возможное количество членов для этой последовательности. Понятно, что, чередуясь, 4 и 1 в сумме будут давать 5. То есть, последовательность такая: 1, 4, 1, 4, 1 и тд, и каждая пара двух членов в сумме даёт 5. Осталось понять, с какого члена начинать: с 4 или 1?

Возьмем число 1539 и найдем максимально близкое к нему число, кратное 5. Мы не будем брать 1540, так как оно больше, в данном случае такое допускать нельзя, поэтому берём 1535. Видно, что от 1539 оно отличается на 4, что ещё раз подтверждает правильность выбора членов. Очевидно, что последний член последовательности - 4. К этой четверки нет пары, значит первым членом последовательности была 4.

1535 делим на 5, получаем 307. Это количество пар единиц и четвёрок. Так как это пары, умножаем 307 на два, получаем 614. И в самом конце прибавляем единицу к 614, так как последний член последовательности - 4. Итого, ответ 615.

Надеюсь, несильно запутал.