Найдите, различные натуральные числа m и n такие, что 1:m+1:n=1:13

1/m + 1/n = 1/13

Домножаем на 13mn:

13n + 13m = mn

mn - 13m - 13n = 0

mn - 13m - 13n + 169 = 169

m (n - 13) - 13 (n - 13) = 169

(m - 13) (n - 13) = 169

169 можно разложить на множители следующими способами: 169 = (-1) * (-169) = (-13) * (-13) = 169 * 1 = 13 * 13

Пусть m > n, тогда возможны такие варианты:

1) m - 13 = - 1, n - 13 = - 169 - не подходит, n < 0

2) m - 13 = n - 13 = - 13 - не подходит, m = n

3) m - 13 = 169, n - 13 = 1 - (m, n) = (182, 14)

4) m - 13 = n - 13 = 13 - не подходит, m = n

Итак, m = 182, n = 14 или m = 14, n = 182