Докажите, что при любом нечетном значении n значение выражения (4n + 1) ² - (n + 4) ² кратно 120.

Представим нечётное n (n=3,5,7, ...) через чётное k: n=k+1.

Тогда (4n + 1) ² - (n + 4) ² = (4 (k+1) + 1) ² - ((k+1) + 4) ² = (4k+4 + 1) ² - (k+1 + 4) ² = (4k + 5) ² - (k + 5) ² = 16k²+40k+25-k²-10k-25=15k²+30k = 15k (k+2).

Если полученное выражение 15k (k+2) кратно 120, то k (k+2) кратно 8.

Поскольку k=2,4,6, ..., то m=k/2=1,2,3, ..., в таком случае, k=2m и 2m (2m+2) кратно 8, тогда 4m (m+1) кратно 8, откуда следует, что m (m+1) кратно 2. Поскольку произведение m (m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.

Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.