A, b - натуральные числа. Найдите наибольшее возможное значение НОД (a-8, b^3+1, a^2+b).

b^3+1 = (b+1) (b^2-b+1)

Рассмотрим первый случай, когда НОД трёх чисел, равен множителю b+1.

1) Положим что

НОД (a-8, b^3+1, a^2+b) = m Тогда пусть a=mx-8, b=mz-1 тогда a^2+b=m (x^2+16x+z) + 63 То есть НОД в данном случае должен быть делителем числа 63=9*7, откуда максимальный m=9 (как максимальное)

2)

Рассмотрим случай когда m находится во множителе b^2-b+1=y тогда пусть НОД=m и

b^2-b+1-y=0

D=sqrt (1-4 (1-y)) = x^2 где x, y натуральные числа

4y-3=x^2

y = (x^2+3) / 4 пусть x=x1+x2n тогда подставляя

(x1^2+2x1*x2*n+x2^2n^2+3) / 4 тогда чтобы y было натуральным, x1=1 откуда x2=2 то есть x=2n+1 откуда y=n^2+n+1 значит b=n+1

Тогда все три числа равны, если НОД = m, то (m*t, (n+1) (n^2+n+1), (mt-8) ^2+n+1) = (m*t, (n+1) (n^2+n+1), 65+n)

То есть надо найти наибольшее НОД чисел ((n+1) (n^2+n+1), 65+n)

Вычтев с n^2+n+1 - (65+n) = n^2-64, тогда пусть 65+n=m*l, откуда n=m*l-65 значит

((n+1) (n^2+n+1), 65+n) = (n^2-64, n+65) = (m^2*l^2-130m*l+65^2-64, m*l) то есть НОД m=65^2-64 = 4161

Ответ 4161 выполняется например при a=4169, b=4097