Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом.

Рассмотрим любые 5 последовательных натуральных чисел, они имеют вид: n, n+1, n+2, n+3, n+4, где n любое натуральное число.

Их сумма квадратов равна:

n^2 + (n+1) ^2 + (n+2) ^2 + (n+3) ^2 + (n+4) ^2=

=n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) + (n^2+6n+9) + (n^2+8n+16) =

=5n^2+20N+30.

Так как 5n^2+20N+30 нельзя представить в виде (an+b) ^2, где a и b целые числа, то таким образом доказано, что:

не существует пяти последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.