Переход от десятичной периодической дроби к обычной

16,20 (01)

(01) это период

найти нужно дробь

16,20 (01) = x

x Найти

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей: Периодическая десятичная дробь 0,3333 ... Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1. Периодическая десятичная дробь 0,583333 ... Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1. Периодическая десятичная дробь 1,545454 ... Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2. Периодическая десятичная дробь 0,641025641025 ... Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом - в настоящем решении так делать не обязательно. Периодическая десятичная дробь 3066,666 ... Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1. Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить - см. урок "Умножение и деление десятичных дробей". Переход к периодической десятичной дробиРассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным - см. урок "Десятичные дроби". Такие нас не интересуют;

В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель "уголком". При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть, если она есть;

Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;

Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди - непериодической. Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные: 4 обыкновенные неправильные дроби Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель "уголком":Разделить 26 на 15 уголком Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в "правильном" виде: 1,733 ... = 1,7 (3). Разделить 7 на 12 уголком В итоге получается дробь: 0,5833 ... = 0,58 (3). Разделить 45 на 11 уголком Записываем в нормальном виде: 4,0909 ... = 4, (09). Разделить 41 на 99 уголком Получаем дробь: 0,4141 ... = 0, (41). Переход от периодической десятичной дроби к обыкновеннойРассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc (a1b1c1). Требуется перевести ее в классическую "двухэтажную". Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т. е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;

Найдите значение выражения X · 10k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо - см. урок "Умножение и деление десятичных дробей";

Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть "сжигается", и остается обычная дробь;

В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

9, (6) ;

32, (39) ;

0,30 (5) ;

0, (2475).

Работаем с первой дробью: X = 9, (6) = 9,666 ... В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10k = 101 = 10. Имеем: 10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ... Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение: 10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;

9X = 87;

X = 87/9 = 29/3. Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32, (39) = 32,393939 ... Период k = 2, поэтому умножаем все на 10k = 102 = 100:100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ... Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение: 100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;

99X = 3207;

X = 3207/99 = 1069/33. Приступаем к третьей дроби: X = 0,30 (5) = 0,30555 ... Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки: Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10k = 101 = 10; 10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...

10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;

9X = 11/4;

X = (11/4) : 9 = 11/36. Наконец, последняя дробь: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:k = 4 ⇒ 10k = 104 = 10 000;

10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...

10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;

9999X = 2475;

X = 2475 : 9999 = 25/101.