Пусть p простое число и больше 5. Обоснуйте, что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4; а при делении p в квадрате на 24 получаем 1.

Число p простое большее 5 значит имеет вид

5 к+1 или 5 к+2 или 5 к+3 или 5 к+4

При возведении в квадрат получаем

25 к^2+10k+1, 25 к^2+20k+4, 25 к^2+30k+5+4, 25 к^2+40k+15+1

Видно, что остатки квадратов от деления на 5 равны или 1 или 4.

p^2-1 = (p-1) (p+1)

р - простое, большее 5, значит нечетное значит при делении на 4 имеет в остатке 1 или 3. Тогда одно из р-1 или р+1 делится на 4, а другое на 2, значит произведение p^2-1 = (p-1) (p+1) делится на 8.

При делении на 3 число р дает в остатке 2 или 1, тогда одно из р-1 или р+1 делится на 3. значит и p^2-1 = (p-1) (p+1) делится на 3.

Так как число р^2-1 делится одновременно на взаимно простые числа 3 и 8 значит оно делится на 24. значит само число р^2 при делении на 24 дает в остатке 1.