Некоторые стороны клеток на доске (8 х8) окрашены в красный цвет, а другие в синий. Разрешается произвольно выбирать клетку доски и перекрашивать все ее стороны одновременно в противоположный цвет. Всегда ли можно сделать несколько перекрашиваний так, чтобы синих стало 1/4 от всего кол-ва сторон клеток?

Покрасим все стороны клеток в красный цвет, кроме одной. Инвариант - чётность количества синих сторон. Пусть у клетки было:

(слева - кол-во красных сторон, справа - кол-во синих сторон)

4/0 - - > 0/4

3/1 - - > 1/3

2/2 - - > 2/2

1/3 - - > 3/1

0/4 - - > 4/0

Значит, количество синих сторон будет изменяться на 0, 2 или 4. Надо сделать 36 синих сторон, но 36 - число чётное, а 1 - нечётное. Противоречие.

Ответ: Не всегда.