Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку М и параллельной данной прямой: 90*^2+160*y^2+576*z^2=2880, M (12; -3; -1), x=0, y=0.

Поверхность

90x^2 + 160y^2 + 576z^2 = 2880

x^2 / (2880/90) + y^2 / (2880/160) + z^2 / (2880/576) = 1

x^2 / 32 + y^2 / 18 + z^2 / 5 = 1

Это трехосный эллипсоид. Частные производные:

dF/dx = 2x/32 = x/16; dF/dx (M) = 12/16 = 3/4

dF/dy = 2y/18 = y/9; dF/dy (M) = - 3/9 = - 1/3

dF/dz = 2z/5; dF/dz (M) = - 2/5

Уравнение касательной плоскости

dF/dx (M) * (x-x0) + dF/dy (M) * (y-y0) + dF/dz (M) * (z-z0) = 0

3/4 (x - 12) - 1/3 (y + 3) - 2/5 (z + 1) = 0

3x/4 - 9 - y/3 - 1 - 2z/5 - 0,4 = 0

3x/4 - y/3 - 2z/5 - 10,4 = 0

45x - 20y - 24z - 624 = 0

Прямая x=0; y=0 - это ось Oz. Плоскость, параллельная этой оси

-24z - 624 = 0

z + 26 = 0