С помощью формулы Муавра получить выражения для cos3 фи, sin3 фи

фр. Муавра (Z^n=IZI^n * (cos фи+i sin фи)

{ для удобства вместо фи далее буду использовать x }

С одной стороны, по формуле:

(cos x + i*sin x) ^3 = cos 3x + i*sin 3x

С другой, если честно раскрыть скобки:

(cos x + i*sin x) ^3 = cos^3 x + 3i * cos^2 x * sin x - 3 * cos x * sin^2 x - i * sin^3 x

Выражения в обеих строках равны равны их вещественные и мнимые части:

cos 3x = cos^3 x - 3 * cos x * sin^2 x = cos^3 x - 3 * cos x * (1 - cos^2 x) = 4 * cos^3 x - 3 * cos x

sin 3x = 3 * cos^2 x * sin x - sin^3 x = 3 * (1 - sin^2 x) * sin x - sin^3 x = 3 * sin x - 4 * sin^3 x