Решить уравнение sin^1993x+cos^1993x=1

Произведём некоторые оценки.

Прежде всего, помним об ограниченности синуса и косинуса.

-1 < = sin x < = 1, - 1 < = cos x < = 1

Эти оценки позволяют нам сказать, что sin^1993 x < = sin^2 x, cos^1993 x < = cos^2 x (что очевидно).

Что будет, если я оба неравенства сложу?

sin^1993 x + cos^1993 x < = sin^2 x + cos^2 x = 1

То есть, всегда выполняется неравенство <=1 левой части уравнения, и лишь иногда достигается равенство единице. Это наш случай. очевидно, что это бывает, когда

sin^1993 x = sin^2 x

cos^1993x = cos^2 x

Это система.

Теперь решаем по отдельности каждое из уравнений системы.

sin^1993 x - sin^2 x = 0

sin^2 x (sin^1991 x - 1) = 0

Уравнение распадается на два:

sin^2 x = 0 или sin^1991 x = 1

sin x = 0 sin x = 1

x = пиn x = пи/2 + 2 пиk

Решаем второе уравнение.

cos^1993 x - cos^2 x = 0

cos^2 x (cos^1991 x - 1) = 0

Уравнение распадается на два:

cos x = 0 или cos x = 1

x = пи/2 + пиl x = 2 пиm

Здесь я предполагаю, что n, k, l, m - целые числа.

Теперь осталось лишь пересечь решения обоих уравнений системы.

x1 = 2 пиn

x2 = пи/2 + 2 пиk

Это и будет решением исходного уравнения.