Известно, что квадратные трехчлены

x2 + px + q = 0 и x2 + qx + p = 0

имеют различные действительные корни. Рассмотрим всевозможные парные произведения корней первого квадратного трехчлена на корни второго (всего таких произведений четыре). Докажите, что сумма обратных величин данных произведений не зависит от p и q.

Question

Математика

Галактион

11 мая, 05:41

Известно, что квадратные трехчлены

x2 + px + q = 0 и x2 + qx + p = 0

имеют различные действительные корни. Рассмотрим всевозможные парные произведения корней первого квадратного трехчлена на корни второго (всего таких произведений четыре). Докажите, что сумма обратных величин данных произведений не зависит от p и q.

+5

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Леда · Answer 1

Обозначим решения 1 ур-ния a и b, а 2 ур-ния c и d.

По теореме Виета

a+b=-p

a*b=q

c+d=-q

c*d=p

Сумма обратных произведений пар корней

1 / (a*c) + 1 / (a*d) + 1 / (b*c) + 1 / (b*d) =

(bd+bc+ad+ac) / (ab*cd) =

(b (c+d) + a (c+d)) / (ab*cd) =

(a+b) (c+d) / (ab*cd) = (-p) (-q) / (pq) = 1