Докажите что в любом году найдется пятница приходящаяся на 13-ое число

Пронумеруем все дни недели числами от 0 до 6. Пусть сейчас месяц x, в котором k дней. Возьмем произвольный день этого месяца d. Пусть он приходится на день недели w.

Теперь посмотрим на месяц x+1 и рассмотрим день этого месяца d. Если в предыдущем месяце было k дней, причем остаток от деления числа k на 7 равен m, то день недели, на который приходится день d в месяце x+1, циклически сместится ровно на m позиций.

Чтобы было проще понять, приведу пример. Пусть рассматривается день недели 4 (пятница) и 13 число августа. В августе 31 день, то есть смещение будет на 31%7=3 дня. В сентябре 13-е число будет уже приходиться не на пятницу, а на понедельник. Понедельник имеет индекс 0 - потому что циклически сместили индекс 4 на 3 позиции вправо (4->5->6->0).

К чему я веду. Рассмотрим все месяцы в году и посмотрим на суммарные сдвиги дней недели после каждого прошедшего месяца.

Возьмем день d=13 января. Пусть он приходится на день недели w.

Выпишем количество дней для каждого месяца.

Январь - 31 (смещение 3)

Февраль - 28 (29) (смещение 0 (1))

Март - 31 (смещение 3)

Апрель - 30 (смещение 2)

Май - 31 (смещение 3)

Июнь - 30 (смещение 2)

Июль - 31 (смещение 3)

Август - 31 (смещение 3)

Сентябрь - 30 (смещение 2)

Октябрь - 31 (смещение 3)

Ноябрь - 30 (смещение 2)

Декабрь - 31 (смещение 3)

Выпишем список дней недели в каждом месяце, на которые приходится число месяца d. Так как это числа от 0 до 6, надо брать по модулю 7 суммарный сдвиг.

Для невисокосного года:

Январь - w+0,

Февраль - w+3,

Март - w+3,

Апрель - w+6,

Май - w+1,

Июнь - w+4,

Июль - w+6,

Август - w+2,

Сентябрь - w+5,

Октябрь - w+0,

Ноябрь - w+3,

Декабрь - w+5

Для високосного года будет так:

Январь - w+0,

Февраль - w+3,

Март - w+4,

Апрель - w+0,

Май - w+2,

Июнь - w+5,

Июль - w+0,

Август - w+3,

Сентябрь - w+6,

Октябрь - w+1,

Ноябрь - w+4,

Декабрь - w+6

В обоих случаях присутствуют все дни недели w+0, w+1, ..., w+6. Это значит, что в течении года каждое число месяца (числа 30 и 31 не в счет, так как они присутствуют не во всех месяцах) успевает побывать на всех днях недели. Как следствие, 13 число хотя бы в одном из месяцев в году будет пятницей.