В урне содержится 5 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них есть а) ровно три белых шара б) меньше чем 3 белых шара. В) хотя бы 1 белый шар.

Всего в урне содержится 5+7=12 шаров.

Количество всех исходов равно

С⁴₁₂ = 12! / ((12-4) !*4!) = 12! / (8!*4!) = 9*10*11*12 / (2*3*4) = 495

а) Ровно 3 белых шара, значит

С₇³=7! / (3! * (7-3) !) = 7! / (3!*4!) = 5*6*7 / (2*3) = 35 (3 белых)

С¹₅=5 (1 черный)

С₇³*С¹₅=5*35=175 кол-во благоприятных исходов

Р=175/495≈0,37

б) меньше чем 3 белых шара

1 белый шар:

С¹₇=7 белый шар

С³₅=5! / (3!*2!) = 4*5/2=10

Р₁=7*10/495≈0,14

2 белых шара

С²₇=7! / (5!*2!) = 6*7/2=21

С²₅=5! / (3!*2!) = 4*5/2=10

Р₂=10*21/495≈0,42

Р=Р₁+Р₂=0,42+0,14≈0,56

в) хотя бы 1 белый шар

С⁴₅=5!/4!=5 ни одного белого шара

P=5/495=0,01 вероятность ни 1 белого шара

Р=1-0,01=0,99 вероятность хотя бы 1 белый шар