Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b, c и d равно a + b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Можно считать, что a < = b < = c < = d.

Т. к. a + b + c + d - НОК, то должно делиться на d и быть больше d.

a + b + c + d < = 4d, значит, 2d, 3d или 4d.

1) Если a + b + c + d = 4d, то a = b = c = d, но тогда НОК был бы равен d, а не 4d. Значит, этот случай не выполняется.

2) Если a + b + c + d = 3d, то хотя бы одно из чисел a, b, c, d делится на 3 (т. к. НОК делится на 3).

3) Если a + b + c + d = 2d, то a + b + c = d и 2 (a + b + c) = НОК (a, b, c, d).

Аналогично, НОК должен делиться на c и быть больше 2c, значит

2c < 2 (a + b + c) < = 6c, и 2 (a + b + c) = 3c, 4c, 5c или 6 с.

- Если 3 с, 5 с или 6 с - всё ок, хотя бы одно из чисел делится на 3 (в первом или третьем случае) или на 5 (во втором).

- Если 2 (a + b + c) = 4c, то a + b = c, и НОК = 4 (a + b) = 4a + 4b - должно делиться на b. Значит, 4a делится на b, 4a = b, 2b. 3b, 4b. Остался последний перебор:

* Если 4a = b, то НОК (a, b, c, d) = НОК (a, b, a + b, 2 (a + b)) = НОК (a, 4a, 5a, 10a) делится на 5, значит, произведение делится на 5.

* Если 4a = 2b, 2a = b, то есть делимость на 3, т. к. c = 3a

* Если 4a = 3b, то a делится на 3

* Если 4a = 4b, a = b, то НОК = НОК (a, a, 2a, 4a) = 4a, а не a + a + 2a + 4a = 8a.

Все случаи разобраны, и в каждом возможном случае произведение делится на 3 или 5.