Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь треугольника.

Длина медианы выражается формулой : M = 1/2*sgrt 2a^2 + 2b^2 - c^2, где с-сторона через которую проходит медиана, a и b - другие стороны треугольника. Возведем левую и правую часть уравнения во вторую степень, получаем : M^2 = 1/4 (2a^2 + 2b^2 - c) 4M^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2. Отсюда:

с^2 = 2a^2 + 2b^2 - M^2. c^2 = 2*34^2 + 2*32^2 - 17^2 = 2*1156 + 2*1024 - 289 =

2312 + 2048 - 289 = 4071 sgrt c^2 = sgrt 4071 = 63,8. Найдем площадь треугольника по формуле : S = sgrt p * (p - a) * (p - b) * (p - c), где p - полупериметр, a, b и c - стороны треугольника. p = (a + b + c) / 2 = (34 + 32 + 63.8) / 2 = 64.9 S = sgrt 64.9 * (64.9 - 34) * (64.9 - 32) * (64.9 - 63.8) = sgrt 64.9 * 30.9 * 32.9 * 1.1 = sgrt 72578.2 = 269.4 кв, ед

Имеем треугольник АВС со сторонами АВ=34 и ВС=32. Пусть медиана ВО = 17 пересекает АС в точке О. Продлим ВО на ОD = 17 и соединим точки А и С с точкой D. Полученный четырехугольник - параллелограмм. так как диагонали его пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам (3 признак). Треугольник ВОС = треугольнику АОD по двум сторонам и углу между ними (ВО=ОD, АО=ОС, угол ВОС=углу АОD как вертикальные). Найдем площадь тр-ка ВАD, она как мы показали, равна искомой площади тр-ка АВС. Стороны тр-ка АВD равны 32, 34 и 17*2=34, далее по теореме Герона S=√p (p-a) (p-b) (p-c) p=0.5 (34+32+34) = 50

S=√50*16*16*18=4*4*√ (25*2*2*9) = 16*5*2*3=480