В треугольнике АВС АС=4√3, ВС=12, угол С=90 гр. окружность проходит через вершины А и С треугольника и пересекает гипотенузу в точке К так, что АК: КВ=3:1. найти радиус окружности.

Гипотенуза АВ равна √ ((4√3) ²+12²) = √ (48+144) = √192 = 8√3.

Тангенс угла А равен 12/4√3 = 3/√3 = √3.

Угол А равен arc tg√3 = 60°.

Отрезок АК = (8√3) * (3/4) = 6√3.

По теореме косинусов находим длину СК:

СК = √ ((4√3) ² + (6√3) ²-2 * (4√3) * (6√3) * cos60°) = √ (48+108-72) = √84 = 2√21.

Радиус окружности, проходящей через точки А, С и К - это радиус описанной окружности около треугольника АСК.

R = a / (2sinA) = 2√21 / (2*sin60°) = 2√21 / (2 * (√3/2)) = 2√7 ≈ 5.2915026.