В правильном треугольнике со стороной, равной а, вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная основанию. Этой касательной отсекается опять правильный треугольник, в который вписана окружность и так до бесконечности. Написать общий член последовательности радиусов окружностей, построенных таким образом.

Как известно, в правильном треугольнике высота равна

h=a√3/2, а радиус вписанной окружности r = h/3 = а√3/6.

На втором шаге, после отсечения, новый треугольник будет иметь

высоту h (2) = h-2a = a√3/2 - 2 а√3/6 = a√3/6 = (a√3/2) / 3 = h/3.

Интересно отметить, что новая высота в 3 раза меньше исходной и равна радиусу вписанной окружности в исходный треугольник, а радиус новой вписанной окружности

r (2) = h (2) / 3 = (a√3/6) / 3 = r/3 - тоже в 3 раза меньше исходного радиуса вписанной окружности.

В дальнейшем, в результате последовательности отсечений, стороны, высоты и

радиусы вписанных окружностей создадут геометрические последовательности со знаменателем прогрессии 1/3.

На n-ом шаге радиус вписанной окружности

r (n) = r/3^ (n-1) = (a√3/6) / 3^ (n-1) = a√3 / (2*3^n),

где знак ^ означает возведение в степень.

Это исправленное решение с учетом моих комментариев от 06.01.17.