Доказать, что при любом натуральном а выражение а^3 + 11 а делится на 6

A^3 + 11a = a * (a^2 + 11)

Если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Если а делится на 6, то число делится на 6.

Если а делится на 6 с остатком 1, то его можно представить как a = 6k+1

a ((6k+1) ^2 + 11) = a (36k^2+12k+1+11) = a (36k^2+12k+12) = 6a (6k^2+2k+2)

Очевидно, оно делится на 6

Если а делится на 6 с остатком 2, то его можно представить как a=6k+2=2 (3k+1)

a ((6k+2) ^2+11) = a (36k^2+24k+4+11) = 2 (3k+1) (36k^2+24k+15) = 6 (3k+1) (12k^2+8k+5)

Очевидно, оно делится на 6

Если а делится на 6 с остатком 3, то его можно представить как a=6k+3=3 (2k+1)

a ((6k+3) ^2+11) = a (36k^2+36k+9+11) = 3 (2k+1) (36k^2+36k+20) = 12 (3k+1) (9k^2+9k+5)

Очевидно, оно делится на 6

Если а делится на 6 с остатком 4, то его можно представить как a=6k+4=2 (3k+2)

a ((6k+4) ^2+11) = a (36k^2+48k+16+11) = 2 (3k+2) (36k^2+48k+27) = 6 (3k+2) (12k^2+16k+9)

Очевидно, оно делится на 6

Если а делится на 6 с остатком 5, то его можно представить как a = 6k+5

a ((6k+5) ^2 + 11) = a (36k^2+60k+25+11) = a (36k^2+60k+36) = 6a (6k^2+10k+6)

Очевидно, оно делится на 6

Итак, во всех случаях это число делится на 6.