На доске написано 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из 10 чисел: 3, 8, 9, 16, 17, 17, 18, 22, 23, 31. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.

Обозначим числа за a, b, c, d, e и будем считать, что a≤b≤c≤d≤e. Заметим сразу, что все числа различны, так как если бы хотя бы два числа (например, a и b) были равны, то среди 10 чисел из набора было бы не менее 3 пар равных (a+c=b+c, a+d=b+d, a+e=b+e), а в нашем случае это не так. Поэтому мы можем считать, что a
Сумма 10 чисел из набора равна (3+8+9) + (16+17+17) + (18+22) + (23+31) = 20+50+40+54=164. Нетрудно видеть, что каждое из 5 чисел входит в эту сумму по 4 раза (например, число a входит в виде сумм a+b, a+c, a+d, a+e). Тогда сумма искомых 5 чисел равна 164/4=41.

Таким образом, a+b+c+d+e=41. По условию, a+b=3, d+e=31. Тогда c=41 - (a+b) - (d+e) = 41-31-3=7. Поскольку числа попарно неравны, мы можем утверждать, что a+c=8, откуда a=1, тогда b=2. Мы можем утверждать, что a+d=16, поскольку 16 - наименьшая из сумм, содержащая одно из чисел d, e. Тогда d=15. Следовательно, e=31-15=16.

Таким образом, искомые числа равны 1,2,7,15,16, а их произведение равно 2*7*15*16=14*15*16=3360.