Найдите количество целочисленных решений (a; b; c) уравнения 27^a*75^b*5^c=1875 удовлетворяющих условию |a+b+c|<111.

27^a=3^ (3a) ; 75^b=3^b*5^ (2b) ; 5^c

1875=3*5^4

27^a*75^b*5^c=3^ (3a+b) * 5^ (2b+c) = 3*5^4

Получаем систему 2 уравнений с 3 неизвестными

{ 3a+b=1

{ 2b+c=4

Решаем. Выразим всё через b

{ a = (1-b) / 3

{ c=4-2b

По условию |a+b+c| < 111

| (1-b) / 3+b+4-2b| < 111

Умножим всё на 3

|1-b+3b+12-6b| < 333

|-4b+13| < 333

-333 < - 4b+13 < 333

-346 < - 4b < 320

Делим всё на - 4, при этом неравенство переворачивается.

-80 < b < 86,5

Так как b целые, то

b € [-79; 86]

Это 79+86+1=166 решений.