При каком значении b сумма кубов корней квадратного уравнения (3b - 1) х^2 + (3b-1) x + b^2 = 0 равна - 1?

Решаем уравнение:

x^2 + (m-2) x - (m+3) = 0

D = (m-2) ^2 + 4 (m+3) = m^2-4m+4+4m+12 = m^2 + 16

x1 = [2-m + V (m^2 + 16) ] / 2, x2 = [2-m - V (m^2 + 16) ] / 2

Сумма квадратов корней:

x1^2+x2^2 = ([2-m + V (m^2 + 16) ]^2 + [2-m - V (m^2 + 16) ]^2) / 4 =

= [ (2-m) ^2 + 2 * (2-m) * V (m^2 + 16) + (m^2 + 16) + (2-m) ^2 - 2 * (2-m) * V (m^2 + 16) + (m^2 + 16) ] / 4 =

= [2 * (2-m) ^2 + 2 * (m^2 + 16) ] / 4 = [ (2-m) ^2 + (m^2 + 16) ] / 2 = (4-4m+m^2+m^2+16) / 2 =

= (2m^2-4m+20) / 2 = m^2-2m+10.

Нам надо, чтобы эта сумма была минимальной. График квадратного уравнения - парабола, минимум которой находится в вершине, то есть в точке, где m = - b/2a = 2/2 = 1. Сама сумма равна S = 1-2+10 = 9.

Ответ: S = 9 при m = 1.