На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2012, 2013. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности (т. е. результат вычитания из большего меньшего, см. комментарий ниже). В конце концов на доске останется одно число. Какое наименьшее число могло получиться?

Модулем числа называет "число без знака", т. е. для положительного числа и нуля модуль - это оно само, а для отрицательных чисел модуль - это же число, но взятое с противоположным знаком. Например, модуль числа 7 - это число 7, для 0 - это число 0, а для - 5 - это число 5.

Question

Математика

Митрюша

12 декабря, 12:51

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2012, 2013. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности (т. е. результат вычитания из большего меньшего, см. комментарий ниже). В конце концов на доске останется одно число. Какое наименьшее число могло получиться?

Модулем числа называет "число без знака", т. е. для положительного числа и нуля модуль - это оно само, а для отрицательных чисел модуль - это же число, но взятое с противоположным знаком. Например, модуль числа 7 - это число 7, для 0 - это число 0, а для - 5 - это число 5.

+3

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Романя · Answer 1

Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.

Первая операция: | (a+1) - a|=1. Вторая операция: | (a+3) - (a+2) |=1. Третья операция: 1-1=0.

Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим) : { 2,3,4,5 }, ..., { 2010,2011,2012,2013 }. После этого из полученных 0 с помощью нашей операции мы получим один 0.

После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.