Сколько существует трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Обозначим через A, B, C - множества трёхзначных чисел, которые делятся на 2, 3 и 5 соответственно.

A¯, B¯, C¯ - которые не делятся на 2, 3 и 5 соответственно.

Через n (A) обозначают число элементов множества А и т. д.

Найти n (A¯ ∩ B¯ ∩ C¯).

Всего трехзначных чисел 999-99=900.

n (A¯ ∩ B¯ ∩ C¯) = 900-n (A∪B∪C).

Множества А, В и С - пересекаются.

Применяем формулу включений и исключений

n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A∩B) - n (B∩C) - n (A∩C) + n (A∩B∩C) =

n (A) = 450 чисел кратных 2 (900:2=450)

n (B) = 333 чисел кратных 3 (900:3=300)

n (C) = 180 чисел кратных 5 (900:5) = 180)

n (A∩B) = 150 чисел, кратных 6

n (B∩C) = 60 чисел, кратных 15

n (A∩C) = 90 чисел, кратных 10

n (A∩B∩C) = 30 чисел, кратных 30.

n (A∪B∪C) = 450+300+180 - 150 - 60 - 90 + 30=660

n (A¯∩B¯∩C¯) = 900-n (A∪B∪C) = 900-660=240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

О т в е т. 240 трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Давайте посмотрим, на что они могут заканчиваться.

Ясно, что это цифры 1, 3, 7, 9 (отсюда можно уже не рассматривать делимость на 2 и на 5. Эти числа мы исключили). Остались только те, что не кратны 2 и не кратны 5.

Таких чисел 10*9*4 = 360 (уже лучше, чем все трехзначные)

Хорошо. Дальше в сумме все цифры не должны давать число, кратное 3.

Сумма двух оставшихся чисел максимум составляет 18.

Расмотрим 4 случая

1) * * 1

Сумма первых двух чисел не может принимать значения 2, 5, 8, 11, 14, 17.

2 = 1+1 = 2 + 1 (-2 числа)

5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0 (-5 чисел)

8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1 = 8 + 0 (-8 чисел)

11 = ... (-11 чисел)

14 = ... (-14 чисел)

17 = ... (-17 чисел)

Итого меньше на 57 чисел меньше

2) * * 3

Сумма не может принимать значения 3, 6, 9, 12, 15, 18

На 63 числа меньше

3) * * 7

Сумма не может принимать значения 2, 5, 8, 11

На 26 чисел меньше

4) * * 9

Сумма не может принимать значения 3, 6, 9

На 18 чисел меньше

В итоге мы получаем 360 - 57 - 63 - 26 - 18 = 196.

Ответ: 196