Сколько существует натуральных чисел a не превосходящих 4000, для которых можно подобрать такие неотрицательные целые x, y, z, что

x^2 (x^2+2z) - y^2 (y^2+2z) = a.

Выражение можно переписать как (x-y) (x+y) (x²+y²+2z).

Если х и y имеют разную четность, то все выражение нечетное (т. к. сумма и разность чисел разной четности - нечетные) ...

Если x и y оба четные, то все выражение делится на 8 (каждая скобка делится на 2).

Если х и y оба нечетные, то опять все выражение делится на 8 (т. к. сумма и разность нечетных чисел - четные).

Если х=1, y=0, то все выражение равно 2z+1, т. е. a может быть любым нечетным числом.

Если х=2, y=0, то все выражение равно 8 (2+z), т. е. а может быть любым числом кратным 8, кроме 8. И вообще, все это выражение не может равняться 8, т. к. если выражение кратно 8 и х≠y, то x-y≥2 и x+y≥2, а значит (x-y) (x+y) (x²+y²+2z) ≥4 (4+2z) ≥16.

Таким образом, а может быть любым нечетным числом, а их в интервале от 1 до 4000 всего 4000/2=2000 штук, любым кратным 8, кроме самой 8, а их всего 4000/8-1=499. Итого, существует 2499 значений а.