Доказать, что 1^3+2^3+3^3+4^3 + ... + 2016^3 делится на 2017

Question

Математика

Ванюта

30 мая, 20:36

Доказать, что 1^3+2^3+3^3+4^3 + ... + 2016^3 делится на 2017

+2

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Поликсюша · Answer 1

Сумма разбивается на 2016/2=1013 пар вида k^3 + (2017-k) ^3, k=1,2, ...,1013

Рассмотрим произвольную пару: k^3 + (2017-k) ^3 = (k+2017-k) * (k^2+k (2017-k) + (2017-k) ^2) = 2017 * ((k^2+k (2017-k) + (2017-k) ^2)), то есть, она кратна 2017, значит и сумма всех 1013 этих пар кратна 2017.