С двух аэродромов вылетают одновременно навстречу друг другу вертолёт и учебный самолёт. К моменту встречи вертолёт прошёл на 100 км меньше самолёта. Остальной путь самолёт покрывает за 1 час 20 минут, а вертолёт - за 3 часа. Найти расстояние между аэродромами и скорость самолёта и вертолёта.

Пусть:

x - расстояние, которое пролетел самолёт до встречи с вертолётом

(x - 100) - расстояние, которое пролетел вертолёт

u - скорость самолёта

v - скорость вертолёта

Согласно тексту задачи составляем уравнения.

1) Самолёт и вертолёт до встречи летели одинаковое время:

x/u = (x - 100) / v

2) Оставшиеся (x - 100) км самолёт пролетел за 4/3 часа (1 час 20 мин) :

(x - 100) / u = 4/3

3) Оставшиеся x км вертолёт пролетел за 3 часа:

x/v = 3

Решаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Из третьего выражаем x = 3v и подставляем в первые два:

3v/u = (3v - 100) / v; 3v^2 = (3v - 100) u

(3v - 100) / u = 4/3; 3 * (3v - 100) = 4u; 4u = 9v - 300; u = 9v/4 - 75

Значение u подставляем в выражение 3v^2 = (3v - 100) u:

3v^2 = (3v - 100) * (9v/4 - 75) = (27v^2) / 4 - 450v + 7500

Из левой части переносим в правую и приводим подобные:

(15v^2) / 4 - 450v + 7500 = 0; (v^2) / 4 - 30v + 500 = 0

Решаем последнее уравнение через дискриминант

D = 30^2 - 4 * (1/4) * 500 = 900 - 500 = 400

v1 = (30 + 20) / (2/4) = 100 км/ч

v2 = (30 - 20) / (2/4) = 20 км/ч

Проверяем первое решение, хотя по смылслу задачи оно больше и подходит).

v = 100 км/ч; x = 3v = 300 км; u = 9v/4 - 75 = 9*100/4 - 75 = 150 км/ч

Вертолёт пролетел на 100 км меньше, т. е. 300 - 100 = 200 км

Расстояние между аэродромами 300 + 200 = 500 км

Проверяем второе решение.

v = 20 км/ч; x = 3v = 60 км;

На этом можно остановиться, т. к. вертолёт тогда пролетел отрицательное расстояние, чего не м. б.

Ответ: расстояние 500 км, скорость самолёта 150 км/ч, скорость вертолёта 100 км/ч.