1. Составить каноническое уравнение прямой проходящей через точки M1 (2,-4,-7) M2 (7,2,7)

2. Записать уравнение прямой х+9/5=у-1/4=z+2/1 в параметрической форме.

3. Привести уравнение 16 х^2+36 у^2+9z^2 + 64x-144y+54z=0 к каноническому виду, найти его полуоси и координаты центра. (Эллипсоид)

1) Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2) имеет вид:

(x-x1) / (x2-x1) = (y-y1) / (y2-y1) = (z-z1) / (z2-z1). Подставляя координаты точек М1 и М2, получаем: (x-2) / 5 = (y+4) / 6 = (z+7) / 14. Ответ: (x-2) / 5 = (y+4) / 6 = (z+7) / 14.

2) (x+9) / 5 = (y-1) / 4 = (z+2) / 1=t⇒x=5*t-9, y=4*t+1, z=t-2. Ответ: x=5*t-9, y=4*t+1, z=t-2.

3) 16*x²+36*y²+9*z²+64*x-144*y+54*z=16 * (x²+4*x) + 36 * (y²-4*y) + 9 * (z²+6*z) = 16*[ (x+2) ²-4]+36*[ (y-2) ²-4]+9*[ (z+3) ²-9]=16 * (x+2) ²+36 * (y-2) ²+9 * (z+3) ²-289=0, 16 * (x+2) ²+36 * (y-2) ²+9 * (z+3) ²=289, 16 * (x+2) ²/289+36 * (y-2) ²/289+9 * (z+3) ²/289=1, (x+2) ² / (289/16) + (y-2) ² / (289/36) + (z+3) ² / (289/9) = 1. Но 289/16 = (17/4) ², 289/36 = (17/6) ², 289/9 = (17/3) ², и уравнение принимает вид: (x+2) ² / (17/4) ² + (y-2) ² / (17/6) ² + (z+3) ² / (17/3) ²=1. Вспоминая уравнение эллипсоида x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, заключаем, что перед нами - уравнение эллипсоида с центром в точке O (-2,2,-3) и полуосями a=17/4, b=17/6, c=17/3. Ответ: эллипсоид с центром в точке O (-2,2,-3) и полуосями a=17/4, b=17/6, c=17/3.